Una probadita de Caos

La palabra “Caos” generalmente se relaciona con la existencia de algo impredecible ó comportamiento aleatorio. Sin embargo, ya desde hace tiempo la ciencia ha manifestado un importante interés en entenderlo y controlarlo. Cabe mencionar que si en verdad el término “caos” implicara un “total” desorden o un “total” comportamiento aleatorio, no habría razón de estudiar este fenómeno. Para la ciencia el caos parece estar en cualquier lado, en el patrón del humo de un cigarro, en el movimiento oscilatorio de una bandera por el viento, en el comportamiento climático, en arritmias cardiacas, etc. Muchas son las investigaciones que se llevan en la actualidad en esta área.

En la ciencia actual, el termino caos significa algo que “parece” ser aleatorio ó desordenado, pero de hecho se ha encontrado que tiene una naturaleza predeterminada, esto quiere decir que esta controlado por leyes naturales de manera precisa. El desorden aparente viene de lo que se llama una extrema sensitividad a las condiciones iniciales, así como cuando jugamos en una maquina de “pinball” el movimiento de la bola parece desafiar nuestro control.

Para ilustrar las ideas sobre caos, tomemos un ejemplo simple como el modelo de crecimiento de la población, este modelo usado en la Biología se ha encontrado que exhibe un comportamiento caótico.

El modelo es:

X _n+1 = r X_n(1 - X_n)

Donde:

r: constante de crecimiento de la población.
X: valor del total de la población (0-extinción, 1-Población total).
n=1,2,3, …

Este modelo llamado mapa logístico, es utilizado para predecir el crecimiento-decaimiento de la población. Esta es una representación discreta de la ecuación diferencial dX/dt=r X (1-X ).

Comencemos a analizar este modelo, a primera instancia parece difícil, pero tratemos de ver que pasa, las primeras iteraciones para encontrar el siguiente valor de X, empezando con X₀:

X₁=rX₀(1-X₀)
X₂=rX₁(1-X₁)=r²(1-X₀)X₀(1-rX₀+rX₀²)
X₃=rX₂(1-X₂)=r³(1-X₀)X₀(1-rX₀+rX₀²)(1-r²X₀+r²X₀²+r³X₀²+2r³X₀³+r³X₀⁴)
.
.

Esto puede hacerse fácilmente en una calculadora común dando una valor numérico de X0, y usando un valor de r, habrá que hacer la operación X0*(1-X0)*r, entonces tenemos el valor de X1, a este nuevo valor lo ponemos en memoria y hacemos X1*(1-X1)*r, y así sucesivamente. Por ejemplo tomemos X0=0.1, y tomemos nota:

r = 2 r = 3 r = 3.6

X0 0.10 0.10 0.10
X1 0.18 0.27 0.32
X2 0.30 0.59 0.79
X3 0.42 0.72 0.60
X4 0.49 0.60 0.86
X5 0.50 0.72 0.42
X6 0.50 0.60 0.88
X7 0.50 0.72 0.38
X8 0.50 0.61 0.85
X9 0.50 0.72 0.46
X10 0.50 0.61 0.89
X11 0.50 0.71 0.34
X12 0.50 0.61 0.81
X13 0.50 0.71 0.55
X14 0.50 0.62 0.89
X15 0.50 0.71 0.35
X16 0.50 0.62 0.82
X17 0.50 0.71 0.53

Es muy interesante lo que pasa, en la primer columna cuando r=2, podemos ver que el valor posterior se estabiliza a una sola solución de X, sin embargo para r= 3, esta se estabiliza en 2 valores de X (0.62 y 0.71), y cuatro valores para r=3.6 X (0.89,0.3,0.8 y 0.5).

Esto lo podemos visualizar gráficamente:

Para valores posteriores de r>3.6, la cantidad de puntos fijos sigue aumentándose, hacia lo que se llama a una región caótica.

Utilizando este modelo podríamos decir, que existe una dependencia importante al parámetro r, veámoslo así, supongamos que en una pecera tenemos una población inicial de peces, entonces digamos que la constante de crecimiento es conocida (de alguna manera estimada), la población para valores bajos de r menor a 3 se mantendría constante (ó en estado estacionario), posteriormente si se aumenta el valor de r, se oscilaría por ejemplo entre 2 valores de población durante un cierto periodo de años, o inclusive, esto podría suceder de manera caótica de 4 a 8, 16, etc., posibles estados. Por lo que notaríamos un comportamiento caótico en la existencia del número de habitantes en nuestra población.

Una manera común de visualizar esta información es con el llamado “diagrama de bifurcación”, donde podemos inspeccionar la dependencia al parámetro, en este caso r, el diagrama de bifurcación del mapa logístico se muestra en a siguiente figura, (noten las zonas que acabamos de mencionar):

Entonces así, hemos visto que aun en simples modelos como este, se exhiben comportamientos que parecerían aleatorios ó de una naturaleza imposible de predecir, pero aun con su complejidad, es posible conocer y predecir su comportamiento usando las herramientas de la ciencia. ¿Cuántos otros problemas podrán parecernos de naturaleza caótica, y en realidad esconden una belleza natural en su simplicidad?, solo el tiempo lo dirá.